3.त्रिकोण | 9वी , गणित भाग-2

3.त्रिकोण

9वी , गणित भाग-2

मनोरंजक टेस्ट सोडवा…

त्रिकोणाच्या दूरस्थ आंतरकोनांचे प्रमेय (Theorem of remote interior angles of a triangle)-

त्रिकोणाच्या बाह्यकोनाचे माप हे त्याच्या दूरस्थ आंतरकोनांच्या मापांच्या बेरजेइतके असते.

त्रिकोणाच्या बाह्यकोनाचे प्रमेय (Property of an exterior angle of triangle)-

त्रिकोणाचा बाह्यकोन हा त्याच्या प्रत्येक दूरस्थ आंतरकोनापेक्षा मोठा असतो.

कसोटी-

(1) जर एकास एक संगतीने त्रिकोण ABC चे दोन कोन त्रिकोण PQR च्या दोन कोनांबरोबर असतील आणि त्या कोनांमधील समाविष्ट बाजू समान असतील तर ते दोन त्रिकोण एकरूप असतात. या गुणधर्माला कोन-बाजू-कोन कसोटी असे म्हणतात. हे थोडक्यात कोबाको कसोटी असे लिहितात.

(2) जर एकास एक संगतीने त्रिकोण ABC मधील दोन बाजू व त्रिकोण PQR मधील दोन बाजू बरोबर असतील आणि त्रिकोण ABC च्या त्या दोन बाजूंमधला कोन हा त्रिकोण PQR च्या संगत बाजूंमधल्या कोनाएवढा असेल तर ते दोन त्रिकोण एकरूप असतात. या गुणधर्माला बाजू-कोन-बाजू कसोटी म्हणतात आणि हे थोडक्यात बाकोबा कसोटी असे लिहितात.

(3) जर त्रिकोण ABC च्या तीन बाजू एकास एक संगतीने त्रिकोण PQR च्या बाजूंएवढ्या असतील, तर ते त्रिकोण एकरूप असतात. या गुणधर्माला बाजू-बाजू-बाजू कसोटी म्हणतात आणि हे थोडक्यात बाबाबा कसोटी असे लिहितात.

(4) त्रिकोण ABC, त्रिकोण PQR या दोन काटकोन त्रिकोणांत कोन B, कोन Q हे काटकोन असून दोन्ही त्रिकोणांचे कर्ण समान आणि AB = PQ असेल तर ते त्रिकोण एकरूप असतात. या गुणधर्माला कर्णभुजा कसोटी म्हणतात.

समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय (Isosceles triangle theorem)-

जर त्रिकोणाच्या दोन बाजू एकरूप असतील तर त्या बाजूसमोरील कोन एकरूप असतात.

समद्‌विभुज त्रिकोणाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास (Converse of an isosceles triangle theorem)-

जर त्रिकोणाचे दोन कोन एकरूप असतील तर त्या कोनांसमोरील बाजू एकरूप असतात.

30° – 60° – 90° मापाच्या त्रिकोणाचा गुणधर्म (Property of 30° – 60° – 90°triangle)-

जर काटकोन त्रिकोणाचे लघुकोन 30° व 60° असतील तर 30° च्या कोनासमोरील बाजूकर्णाच्या निम्मी असते.

काटकोन त्रिकोणाचे कोन जर 45°, 45°, 90° असतील तर काटकोन करणारी प्रत्येक बाजू ही 1/√2 × कर्ण असते. या गुणधर्माला 45°- 45°- 90° च्या त्रिकोणाचे प्रमेय म्हणतात.

काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाच्या मध्यगेचा गुणधर्म –

काटकोन त्रिकोणात कर्णावर काढलेल्या मध्यगेची लांबी कर्णाच्या निम्मी असते.

लंबदुभाजकाचे प्रमेय (Perpendicular bisector theorem)-

रेषाखंडाच्या लंबदुभाजकावरील प्रत्येक बिंदू हा त्या रेषाखंडाच्या अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावर असतो.

रेषाखंडाच्या टोकांपासून समदूर असणारा कोणताही बिंदू त्या रेषाखंडाच्या लंबदुभाजकावर असतो.

कोनदुभाजकाचे प्रमेय (Angle bisector theorem)-

कोनदुभाजकावरील प्रत्येक बिंदू हा त्या कोनाच्या भुजांपासून समदूर असतो. hence कोनाच्या भुजांपासून समान अंतरावर असणारा कोणताही बिंदू त्या कोनाच्या दुभाजकावर असतो.

त्रिकोणातील बाजू व कोन यांच्या असमानतेचे गुणधर्म –

जर त्रिकोणाच्या दोन बाजूंपैकी एक बाजू दुसरीपेक्षा मोठी असेल तर मोठ्या बाजूसमोरील कोन लहान बाजूसमोरील कोनापेक्षा मोठा असतो.

त्रिकोणाचे दोन कोन असमान मापांचे असतील तर मोठ्या कोनासमोरील बाजू ही लहान कोनासमोरील बाजूपेक्षा मोठी असते.

त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज ही तिसऱ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा जास्त असते.

दोन त्रिकोणांचे संगत कोन समान असतात तेव्हा ते त्रिकोण समरूप असतात. दोन त्रिकोण समरूप असतात तेव्हा त्यांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात व संगतकोन एकरूप असतात.

Author: Active Guruji

Blogger

आपल्या प्रतिक्रिया लिहा.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.